เคล็ดลับที่เป็นประโยชน์

การแยกตัวประกอบของรากที่สอง: การแทรกและการกำจัด

Pin
Send
Share
Send
Send


ทีมบรรณาธิการและนักวิจัยที่มีประสบการณ์ของเรามีส่วนร่วมในบทความนี้และทดสอบเพื่อความถูกต้องและครบถ้วน

จำนวนแหล่งข้อมูลที่ใช้ในบทความนี้คือ 8 คุณจะพบรายการแหล่งข้อมูลที่ด้านล่างของหน้า

ทีมจัดการเนื้อหาของ wikiHow ตรวจสอบการทำงานของบรรณาธิการอย่างละเอียดเพื่อให้แน่ใจว่าแต่ละบทความมีมาตรฐานคุณภาพสูงของเรา

การทำให้ความเรียบง่ายของรากที่สองนั้นไม่ยากอย่างที่คิด คุณเพียงแค่ต้องคำนึงถึงจำนวนและแยกสแควร์สเต็มจากใต้เครื่องหมายรูท การจดจำสี่เหลี่ยมที่พบมากที่สุดบางส่วนและเรียนรู้วิธีการแยกตัวประกอบจำนวนคุณสามารถทำให้สแควร์รูทง่ายขึ้น

การแยกตัวของราก

อันดับแรกเรากำหนดเป้าหมายของขั้นตอนการแยกตัวประกอบของสแควร์รูท เป้าหมาย - ลดความซับซ้อนของสแควร์รูทและเขียนในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการคำนวณ

การแยกตัวประกอบของสแควร์รูท - ค้นหาตัวเลขสองตัวหรือมากกว่านั้นซึ่งหากคูณกันจะให้ตัวเลขเท่ากับต้นฉบับ ตัวอย่างเช่น: 4 × 4 = 16

หากคุณพบปัจจัยคุณสามารถทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นด้วยสแควร์รูทหรือกำจัดออกโดยสมบูรณ์:

หารจำนวนรูทด้วย 2 ถ้ามันเป็นเลขคู่

หมายเลขรูทควรถูกแบ่งออกเป็นตัวเลขเฉพาะเสมอเนื่องจากค่าใด ๆ ของจำนวนเฉพาะสามารถแยกตัวประกอบได้ หากคุณมีเลขคี่ให้ลองหารด้วย 3 ไม่ใช่หารด้วย 3? หารเพิ่มเติมด้วย 5, 7, 9, ฯลฯ

เขียนนิพจน์เป็นรากของผลผลิตของตัวเลขสองจำนวน

ตัวอย่างเช่น 98: = 98 ÷ 2 = 49 สามารถทำให้ง่ายขึ้นด้วยวิธีนี้ มันเป็นไปตามนั้น 2 × 49 = 98 ดังนั้นเราสามารถเขียนปัญหาใหม่ได้ดังนี้: 98 = (2 × 49)

จัดทำตัวเลขต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งผลิตภัณฑ์ของตัวเลขสองตัวที่เหมือนกันและตัวเลขอื่น ๆ ยังคงอยู่ภายใต้ราก

นำตัวอย่างของเรา (2 × 49):

เนื่องจาก 2 ถูกทำให้เรียบง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้จึงจำเป็นต้องทำให้ 49 ง่ายขึ้น เรากำลังมองหาหมายเลขเฉพาะด้วย 49 เห็นได้ชัดว่าทั้ง 3 และ 5 ไม่เหมาะสม มันยังคงอยู่ 7: 49 ÷ 7 = 7 ดังนั้น 7 × 7 = 49

เราเขียนตัวอย่างในรูปแบบต่อไปนี้: (2 × 49) = (2 × 7 × 7)

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกด้วยรากที่สอง

เนื่องจากในวงเล็บเรามีผลคูณของ 2 และสองหมายเลขที่เหมือนกัน (7) เราสามารถนำเลข 7 ออกไปนอกเครื่องหมายของรูทได้

( 2 × 7 × 7 ) = ( 2 ) × ( 7 × 7 ) = ( 2 ) × 7 = 7 ( 2 ) .

ในขณะที่ตัวเลขสองตัวที่เหมือนกันปรากฏใต้รูทให้หยุดด้วยการแยกตัวเลขออกมา แน่นอนถ้าคุณใช้ความเป็นไปได้ทั้งหมดให้สูงสุด

ข้อควรจำ: มีรากที่สามารถทำให้เรียบง่ายขึ้นได้หลายครั้ง

ในกรณีนี้ตัวเลขที่เรานำออกมาจากใต้รูทและตัวเลขที่อยู่ข้างหน้านั้นจะถูกคูณ

180 = ( 2 × 90 ) 180 = ( 2 × 2 × 45 ) 180 = 2 45

แต่สามารถแยกตัวประกอบ 45 และรูทสามารถทำให้ง่ายขึ้นอีกครั้ง

180 = 2 ( 3 × 15 ) 180 = 2 ( 3 × 3 × 5 ) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

เมื่อมันเป็นไปไม่ได้ที่จะได้ตัวเลขสองตัวที่เหมือนกันภายใต้สัญลักษณ์ของรูทหมายความว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้รูทนั้นง่ายขึ้น

หากหลังจากการสลายการแสดงออกที่รุนแรงเป็นผลิตภัณฑ์ของจำนวนเฉพาะคุณไม่สามารถรับสองตัวเลขที่เหมือนกันแล้วรากดังกล่าวไม่สามารถลดความซับซ้อน

70 = 35 × 2 ดังนั้น 70 = (35 × 2)

35 = 7 × 5 ดังนั้น (35 × 2) = (7 × 5 × 2)

อย่างที่คุณเห็นปัจจัยทั้งสามนั้นเป็นจำนวนเฉพาะที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ในหมู่พวกเขาไม่มีตัวเลขที่เหมือนกันดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะนำจำนวนเต็มจากใต้รูท เพื่อให้ง่ายขึ้น 70 ไม่อนุญาต

เต็มสแควร์

จำสองสามครั้ง

กำลังสองของจำนวนนั้นจะได้รับหากเราคูณมันด้วยตัวมันเองเช่น เมื่อกำลังสอง หากคุณจำจำนวนหนึ่งโหลของช่วงเวลาจากนั้นมันจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นอย่างมากในการทำให้เข้าใจง่ายขึ้นของราก

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

หากภายใต้สัญลักษณ์ของรูตของสแควร์รูทจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสเต็มรูปแบบดังนั้นมันก็คุ้มค่าที่จะลบเครื่องหมายของรูทและเขียนสแควร์รูทของสแควร์เต็มนี้

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

ลองแยกตัวเลขใต้เครื่องหมายรากลงในผลิตภัณฑ์ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเต็มและอีกหมายเลขหนึ่ง

หากคุณเห็นว่าการแสดงออกที่รุนแรงจะสลายไปสู่ผลิตภัณฑ์ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเต็มรูปแบบและจำนวนที่แน่นอนจากนั้นการจดจำตัวอย่างบางอย่างคุณจะประหยัดเวลาและประสาทอย่างมาก:

50 = (25 × 2) = 5 2 หากจำนวนหัวรุนแรงลงท้ายด้วย 25, 50 หรือ 75 คุณสามารถแยกมันออกเป็นผลคูณของ 25 และบางจำนวนได้

1700 = (100 × 17) = 10 17 หากหมายเลขรากลงท้ายด้วย 00 คุณสามารถแยกย่อยมันเป็นผลคูณของ 100 และบางหมายเลขได้

72 = (9 × 8) = 3 8 หากผลรวมของตัวเลขของจำนวนอนุมูลเป็น 9 คุณสามารถแยกมันออกเป็นผลคูณของ 9 และบางจำนวนได้

พยายามที่จะแยกเลขรากออกเป็นผลคูณของกำลังสองเต็มรูปแบบ: นำออกมาจากใต้รูตของสัญลักษณ์และทวีคูณ

72 = ( 9 × 8 ) 72 = ( 9 × 4 × 2 ) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

วิธีที่ 1 การหารของการแสดงออกที่รุนแรง

บันทึกเศษส่วน

หากการแสดงออกไม่ได้แสดงเป็นเศษส่วนจำเป็นต้องเขียนเช่นนี้ดังนั้นจึงง่ายต่อการปฏิบัติตามหลักการแบ่งรากที่สอง

144 ÷ 36 นิพจน์นี้ควรเขียนใหม่เป็น: 144 36

ใช้เครื่องหมายรูทเดียว

หากทั้งตัวเศษและส่วนนั้นมีรากที่สองจำเป็นต้องจดนิพจน์รูตของตนภายใต้เครื่องหมายรากเดียวเพื่อให้กระบวนการตัดสินใจง่ายขึ้น

จำได้ว่านิพจน์รูท (หรือตัวเลข) เป็นนิพจน์ภายใต้สัญลักษณ์ของรูท

144 36 นิพจน์นี้ควรเขียนเป็น: 144 36

แยกการแสดงออกของราก

เพียงแค่แบ่งนิพจน์หนึ่งออกเป็นอีกนิพจน์แล้วเขียนผลลัพธ์ใต้เครื่องหมายราก

144 36 = 4 เราเขียนนิพจน์นี้ใหม่ดังนี้: 144 36 = 4

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกราก (ถ้าจำเป็น)

หากการแสดงออกของรากหรือหนึ่งในปัจจัยที่เป็นสี่เหลี่ยมเต็มรูปแบบให้ลดความซับซ้อนของการแสดงออก

จงจำไว้ว่าจตุรัสเต็มคือตัวเลขซึ่งก็คือจตุรัสของจำนวนเต็มบางส่วน

4 คือจตุรัสเต็มเนื่องจาก 2 × 2 = 4 มันดังนี้จากนี้:

4 = 2 × 2 = 2 ดังนั้น 144 36 = 4 = 2

วิธีที่ 2 การแยกตัวประกอบการแสดงออกที่รุนแรง

บันทึกเศษส่วน

เขียนซ้ำนิพจน์เป็นเศษส่วน (หากมีการนำเสนอเช่นนี้) สิ่งนี้ช่วยอำนวยความสะดวกอย่างมากในกระบวนการแบ่งนิพจน์ด้วยรากที่สองโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อทำการแยกตัวประกอบ

8 ÷ 36 เขียนใหม่ 8 36

ปัจจัยการแสดงออกที่รุนแรงแต่ละ

แยกจำนวนที่อยู่ใต้รูทเช่นจำนวนเต็มอื่น ๆ เพียงเขียนปัจจัยที่อยู่ใต้เครื่องหมายรูท

8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6

ทำให้เศษและส่วนของเศษส่วนง่ายขึ้น

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ให้แยกสี่เหลี่ยมเต็มออกจากใต้เครื่องหมายรูท ดังนั้นปัจจัยของการแสดงออกที่รุนแรงจะกลายเป็นปัจจัยที่ด้านหน้าของสัญญาณราก

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 นี่หมายถึง: 8 36 = 2 2 6

หาเหตุผลเข้าข้างตนเองหาร (กำจัดราก)

ในคณิตศาสตร์มีกฎที่จะทำให้รากในตัวส่วนเป็นสัญญาณของน้ำเสียงไม่ดีคือ ไม่อนุญาต หากตัวส่วนมีรากที่สองให้กำจัดมัน

คูณเศษและส่วนด้วยสแควร์รูทที่คุณต้องกำจัด

ในนิพจน์ 6 2 3 มีความจำเป็นต้องคูณตัวเศษและส่วนด้วย 3 เพื่อกำจัดมันในตัวส่วน:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกที่เกิดขึ้น (ถ้าจำเป็น)

หากตัวเศษและส่วนประกอบด้วยตัวเลขที่สามารถและควรจะลดลง ลดความซับซ้อนของการแสดงออกเช่นเศษส่วนใด ๆ

2 6 ลดความซับซ้อนลงเหลือ 1 3 ดังนั้น 2 2 6 จึงลดความซับซ้อนลงเหลือ 1 2 3 = 2 3

วิธีที่ 3 การหารรากที่สองด้วยปัจจัย

ลดความซับซ้อนของปัจจัย

จำได้ว่าปัจจัยที่เป็นตัวเลขหันหน้าไปทางรากสัญญาณ หากต้องการทำให้ปัจจัยง่ายขึ้นคุณจะต้องแบ่งหรือลดปัจจัยเหล่านั้น อย่าแตะต้องรากศัพท์!

4 32 6 16 ก่อนอื่นลด 4 6: หารด้วย 2 ทั้งตัวเศษและส่วน: 4 6 = 2 3

ลดความซับซ้อนของรูตสแควร์

หากตัวเศษนั้นหารด้วยตัวส่วนทั้งหมดให้หารด้วย ถ้าไม่เช่นนั้นให้ลดการแสดงออกของรูทเช่นเดียวกับคนอื่น ๆ

32 หารด้วย 16 ดังนั้น: 32 16 = 2

คูณปัจจัยที่ง่ายขึ้นโดยใช้รากแบบง่าย

จำกฎ: อย่าทิ้งรากไว้ในส่วน ดังนั้นเพียงแค่คูณเศษและส่วนด้วยรูทนี้

หาเหตุผลเข้าข้างตนเองหาร (กำจัดรากในตัวหาร)

4 3 2 7. ทวีคูณตัวเศษและส่วนด้วย 7 เพื่อกำจัดรากในตัวส่วน

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

วิธีที่ 4. หารด้วยสแควร์รูททวินาม

กำหนดว่าทวินาม (ถั่ว) อยู่ในส่วนหรือไม่

จำได้ว่าทวินามคือการแสดงออกที่มี 2 monomials วิธีการดังกล่าวจะเกิดขึ้นเฉพาะในกรณีที่ตัวส่วนเป็นทวินามที่มีรากที่สอง

1 5 + 2 - มีถังขยะอยู่ในตัวหารเนื่องจากมี monomials สองอัน

ค้นหานิพจน์ผันไปยัง binoma

โปรดจำไว้ว่าถังคอนจูเกตนั้นเป็นทวินามที่มีชื่อเรื่องเดียวกัน แต่มีเครื่องหมายตรงข้าม เพื่อลดความซับซ้อนของการแสดงออกและกำจัดของรากในส่วนคุณควรทวีคูณ conjugate

5 + 2 และ 5 - 2 เป็นคอนจูเกตคู่กัน

ทวีคูณตัวเศษและส่วนด้วยทวินามที่ร่วมกับทวินามในตัวส่วน

ตัวเลือกนี้จะช่วยกำจัดรากในส่วนเนื่องจากผลิตภัณฑ์ของคอนจูนิกทวินามเท่ากับความแตกต่างของกำลังสองของแต่ละคำทวินาม: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2

1 5 + 2 = 1 ( 5 - 2 ) ( 5 - 2 ) ( 5 + 2 ) = 5 - 2 ( 5 2 - ( 2 ) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .

จากจุดนี้ดังนี้: 1 5 + 2 = 5 - 2 23

เคล็ดลับ:

  1. หากคุณทำงานกับรากที่สองของตัวเลขผสมให้แปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง
  2. ความแตกต่างระหว่างการบวกและการลบจากการหารคือไม่แนะนำให้ลดความซับซ้อนของนิพจน์ในกรณีของการหาร (เนื่องจากกำลังสองเต็ม)
  3. ไม่เคย (!) ออกจากรากในส่วน
  4. ไม่มีเศษส่วนทศนิยมหรือผสมก่อนรูท - คุณต้องแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดาแล้วทำให้ง่ายขึ้น
  5. ตัวหารเป็นผลรวมหรือความแตกต่างของสองชื่อย่อยหรือไม่? ทวีคูณเช่นทวีคูณโดย binomial conjugate และกำจัดรากในตัวส่วน

ทางออกที่มีประสิทธิภาพอยู่!

คุณกำลังมองหาทฤษฎีและสูตรสำหรับการสอบในวิชาคณิตศาสตร์หรือไม่? โครงการการศึกษาของ Shkolkovo ให้คุณได้เห็นส่วนทางทฤษฎี นี่คือคำแนะนำในการเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งจริงๆแล้วเป็นลิขสิทธิ์ มันได้รับการพัฒนาให้สอดคล้องกับหลักสูตรของโรงเรียนและรวมถึงส่วนต่างๆเช่นเลขคณิตพีชคณิตจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์และเรขาคณิต (planimetry และ stereometry) แต่ละตำแหน่งทางทฤษฎีที่มีอยู่ในคู่มือเตรียมสอบสำหรับวิชาคณิตศาสตร์นั้นมาพร้อมกับงานที่ได้รับการคัดเลือกอย่างเป็นระบบพร้อมคำอธิบายอย่างละเอียด

ดังนั้นคุณจะไม่เพียงได้รับความรู้บางอย่าง คำแนะนำที่สมบูรณ์สำหรับการสอบในวิชาคณิตศาสตร์จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีคิดอย่างมีเหตุมีผลและไม่ได้คิดปฏิบัติงานที่หลากหลายและอธิบายการตัดสินใจของคุณอย่างถูกต้อง และนี่เป็นความสำเร็จเพียงครึ่งเดียวในการผ่านการสอบรัฐแบบครบวงจร

หลังจากที่คุณพบสูตรและทฤษฎีที่จำเป็นสำหรับการสอบในวิชาคณิตศาสตร์เราขอแนะนำให้คุณไปที่ส่วน "แคตตาล็อก" และรวบรวมความรู้ที่ได้รับจากการปฏิบัติ ในการทำเช่นนี้เพียงเลือกงานในหัวข้อนี้และแก้ไข นอกจากนี้เอกสารอ้างอิงในคณิตศาสตร์สำหรับ USE จะเป็นประโยชน์สำหรับคุณสำหรับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติอื่น ๆ เช่นฟิสิกส์เคมี ฯลฯ

ข้อเท็จจริง 1
( bullet ) ใช้หมายเลขที่ไม่เป็นลบ (a ) (เช่น. (a geqslant 0 )) จากนั้น (เลขคณิต) รากที่สอง จากหมายเลข (a ) เรียกว่าไม่ใช่จำนวนลบ (b ), กำลังสองที่เราได้รับหมายเลข (a ): [ sqrt a = b quad text<то же="" самое,="" что=""> quad a = b ^ 2 ] จากคำจำกัดความมันตามมาว่า (a geqslant 0, b geqslant 0 ) ข้อ จำกัด เหล่านี้เป็นเงื่อนไขสำคัญสำหรับการมีอยู่ของรากที่สองและควรจำ!
จำได้ว่าจำนวนใด ๆ เมื่อยกกำลังสองให้ผลที่ไม่เป็นลบ นั่นคือ (100 ^ 2 = 10000 geqslant 0 ) และ ((- 100) ^ 2 = 10000 geqslant 0 )
( bullet ) ( sqrt <25> ) เท่ากับอะไร? เรารู้ว่า (5 ^ 2 = 25 ) และ ((- 5) ^ 2 = 25 ) เนื่องจากตามคำจำกัดความเราจะต้องค้นหาหมายเลขที่ไม่เป็นลบดังนั้น (- 5 ) จึงไม่พอดีดังนั้น ( sqrt <25> = 5 ) (ตั้งแต่ (25 = 5 ^ 2 ))
การค้นหาค่า ( sqrt a ) เรียกว่าการแยกรากที่สองของตัวเลข (a ) และหมายเลข (a ) เรียกว่านิพจน์รูท
( bullet ) ตามนิยามนิพจน์ ( sqrt <-25> ), ( sqrt <-4> ) เป็นต้น ไม่สมเหตุสมผล

ข้อเท็จจริง 2
สำหรับการคำนวณอย่างรวดเร็วมันจะมีประโยชน์ในการเรียนรู้ตารางของจำนวนธรรมชาติจาก (1 ) ถึง (20 ): [ start<| ll |> hline 1 ^ 2 = 1 & quad11 ^ 2 = 121 2 ^ 2 = 4 & quad12 ^ 2 = 144 3 ^ 2 = 9 & quad13 ^ 2 = 169 4 ^ 2 = 16 & quad14 ^ 2 = 196 5 ^ 2 = 25 & quad15 ^ 2 = 225 6 ^ 2 = 36 & quad16 ^ 2 = 256 7 ^ 2 = 49 & quad17 ^ 2 = 289 8 ^ 2 = 64 & quad18 ^ 2 = 324 9 ^ 2 = 81 & quad19 ^ 2 = 361 10 ^ 2 = 100 & quad20 ^ 2 = 400 hline end]

ข้อเท็จจริง 3
การกระทำใดที่สามารถทำได้ด้วยรากที่สอง?
( bullet ) ผลรวมหรือความแตกต่างของรากที่สองนั้นไม่เท่ากับรากที่สองของผลรวมหรือความแตกต่างนั่นคือ [ sqrt a pm sqrt b ne sqrt] ดังนั้นหากคุณต้องการคำนวณเช่น ( sqrt <25> + sqrt <49> ) จากนั้นคุณควรหาค่าเริ่มต้น ( sqrt <25> ) และ ( sqrt <49 > ) จากนั้นจึงพับ ดังนั้น [ sqrt <25> + sqrt <49> = 5 + 7 = 12 ] หากไม่พบค่า ( sqrt a ) หรือ ( sqrt b ) เมื่อเพิ่ม ( sqrt a + sqrt b ) นิพจน์นี้จะไม่ถูกแปลงอีกและจะยังคงอยู่เหมือนเดิม ตัวอย่างเช่นในผลรวม ( sqrt 2+ sqrt <49> ) เราสามารถหา ( sqrt <49> ) - นี่คือ (7 ) แต่ ( sqrt 2 ) ไม่สามารถแปลงได้ แต่อย่างใด ดังนั้น ( sqrt 2+ sqrt <49> = sqrt 2 + 7 ) ยิ่งกว่านั้นการแสดงออกนี้ไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นในทางใดทางหนึ่ง ( bullet ) ผลิตภัณฑ์ / ผลหารของรากที่สองมีค่าเท่ากับรากที่สองของผลิตภัณฑ์ / ความฉลาด, เช่น [ sqrt a cdot sqrt b = sqrt quad text<и> quad sqrt a: sqrt b = sqrt] (โดยมีเงื่อนไขว่าทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันทำให้รู้สึก)
ตัวอย่าง: ( sqrt <32> cdot sqrt 2 = sqrt <32 cdot 2> = sqrt <64> = 8 ), ( sqrt <768>: sqrt3 = sqrt <768: 3> = sqrt <256> = 16 ), ( sqrt <(- 25) cdot (-64)> = sqrt <25 cdot 64> = sqrt <25> cdot sqrt <64 > = 5 cdot 8 = 40 ) ( bullet ) การใช้คุณสมบัติเหล่านี้จะสะดวกในการค้นหาสแควร์รูทของจำนวนมากโดยทำการแยกพวกมันออก
ลองพิจารณาตัวอย่าง ค้นหา ( sqrt <44100> ) ตั้งแต่ (44100: 100 = 441 ) ดังนั้น (44100 = 100 cdot 441 ) ตามเกณฑ์การหารจำนวน (441 ) หารด้วย (9 ) (เนื่องจากผลรวมของตัวเลขคือ 9 และหารด้วย 9) ดังนั้น (441: 9 = 49 ), i.e. (441 = 9 cdot 49 )
ดังนั้นเราจะได้รับ: [ sqrt <44100> = sqrt <9 cdot 49 cdot 100> = sqrt9 cdot sqrt 49 <49> cdot sqrt <100> = 3 cdot 7 cdot 10 = 210 ] ลองพิจารณาอีกตัวอย่าง: [ sqrt < dfrac <32 cdot 294> <27>> = sqrt < dfrac <16 cdot 2 cdot 3 cdot 49 cdot 2> <9 cdot 3 >> = sqrt < dfrac <16 cdot4 cdot49> <9>> = dfrac < sqrt <16> cdot sqrt4 cdot sqrt9> = dfrac < 4 cdot 2 cdot 7> 3 = dfrac <56> 3 ]
( bullet ) มาแสดงวิธีการใส่ตัวเลขใต้เครื่องหมายรากที่สองโดยใช้ตัวอย่างของนิพจน์ (5 sqrt2 ) (ตัวย่อจากนิพจน์ (5 cdot sqrt2 ) ตั้งแต่ (5 = sqrt <25> ) จากนั้น [5 sqrt2 = sqrt <25> cdot sqrt2 = sqrt <25 cdot 2> = sqrt <50> ] หมายเหตุ ซึ่งตัวอย่างเช่น
1) ( sqrt2 + 3 sqrt2 = 4 sqrt2 )
2) (5 sqrt3- sqrt3 = 4 sqrt3 )
3) ( sqrt a + sqrt a = 2 sqrt a )

ทำไมเป็นเช่นนั้น เราอธิบายตามตัวอย่าง 1) ตามที่คุณเข้าใจแล้วเราไม่สามารถแปลงจำนวน ( sqrt2 ) ได้ ลองจินตนาการว่า ( sqrt2 ) เป็นตัวเลขบางตัว (a ) ดังนั้นการแสดงออก ( sqrt2 + 3 sqrt2 ) ไม่มีอะไรเหมือน (a + 3a ) (หมายเลขหนึ่ง (a ) บวกสามหมายเลขเดียวกันอีก (a )) และเรารู้ว่านี่เท่ากับสี่หมายเลขดังกล่าว (a ) นั่นคือ (4 sqrt2 )

ข้อเท็จจริง 4
( bullet ) บ่อยครั้งที่พวกเขาพูดว่า“ คุณไม่สามารถแยกรากได้” เมื่อคุณไม่สามารถกำจัดเครื่องหมาย ( sqrt <> ) ของราก (ราก) เมื่อคุณพบค่าของจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่นคุณสามารถแยกรากจากหมายเลข (16 ) เนื่องจาก (16 = 4 ^ 2 ) ดังนั้น ( sqrt <16> = 4 ) แต่เพื่อแยกรากจากหมายเลข (3 ) นั่นคือการหา ( sqrt3 ) เป็นไปไม่ได้เพราะไม่มีจำนวนดังกล่าวที่ยกกำลังสองให้ (3 )
ตัวเลขดังกล่าว (หรือนิพจน์ที่มีตัวเลขดังกล่าว) ไม่มีเหตุผล ตัวอย่างเช่นตัวเลข ( sqrt3, 1+ sqrt2, sqrt <15> ) เป็นต้น ไม่มีเหตุผล
ยังไม่มีเหตุผลคือตัวเลข ( pi ) (หมายเลข pi ประมาณเท่ากับ (3.14 )), (e ) (หมายเลขนี้เรียกว่าหมายเลขออยเลอร์ประมาณว่าเป็น (2.7 )) เป็นต้น
( bullet ) เราดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่าจำนวนใดจะเป็นเหตุผลหรือไม่มีเหตุผล และเมื่อรวมเข้าด้วยกันจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะทั้งหมดจะเรียกว่าเซต ตัวเลขจริง (จริง) จำนวนมาก ชุดนี้แสดงโดยตัวอักษร ( mathbb) .
ดังนั้นตัวเลขทั้งหมดที่เรารู้ในปัจจุบันเรียกว่าตัวเลขจริง

ข้อเท็จจริง 5
( bullet ) โมดูลของจำนวนจริง (a ) เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ (| a | ) เท่ากับระยะทางจากจุด (a ) ถึง (0 ) ในบรรทัดจริง ตัวอย่างเช่น (| 3 | ) และ (| -3 | ) เท่ากับ 3 เนื่องจากระยะทางจากจุด (3 ) และ (- 3 ) ถึง (0 ) จะเหมือนกันและเท่ากับ (3 )
( bullet ) ถ้า (a ) เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบดังนั้น (| a | = a )
ตัวอย่าง: (| 5 | = 5 ), ( qquad | sqrt2 | = sqrt2 ) ( bullet ) ถ้า (a ) เป็นจำนวนลบดังนั้น (| a | = -a )
ตัวอย่าง: (| -5 | = - (- 5) = 5 ), ( qquad | - sqrt3 | = - (- - sqrt3) = sqrt3 )
พวกเขาบอกว่าสำหรับตัวเลขลบโมดูล "กิน" ลบและจำนวนบวกเช่นเดียวกับจำนวน (0 ) โมดูลจะไม่เปลี่ยนแปลง
แต่ กฎนี้เหมาะสำหรับตัวเลขเท่านั้น หากคุณมี (x ) ที่ไม่รู้จัก (หรืออื่น ๆ ที่ไม่รู้จัก) ภายใต้สัญลักษณ์ของโมดูลเช่น (| x | ) ซึ่งเราไม่ทราบว่ามันเป็นบวกศูนย์หรือลบจากนั้นกำจัดโมดูล เราไม่สามารถ ในกรณีนี้นิพจน์นี้ยังคงเหมือนเดิม: (| x | ) ( bullet ) มีสูตรต่อไปนี้: [< large < sqrt= | a | >> ] [< large <( sqrt) ^ 2 = a >>, text <provided> a geqslant 0 ] ข้อผิดพลาดนี้มักเกิดขึ้น: พวกเขาบอกว่า ( sqrt) และ (( sqrt a) ^ 2 ) เป็นสิ่งเดียวกัน สิ่งนี้เป็นจริงเฉพาะถ้า (a ) เป็นจำนวนบวกหรือศูนย์ แต่ถ้า (a ) เป็นจำนวนลบนี่ก็ไม่เป็นความจริง มันก็เพียงพอที่จะพิจารณาตัวอย่างเช่น แทนที่จะใช้ (a ) ใช้ตัวเลข (- 1 ) จากนั้น ( sqrt <(- 1) ^ 2> = sqrt <1> = 1 ) แต่การแสดงออก (( sqrt <-1>) ^ 2 ) ไม่มีอยู่ (หลังจากทั้งหมดมันเป็นไปไม่ได้ภายใต้เครื่องหมายราก ใส่ตัวเลขติดลบ!)
ดังนั้นเราจึงดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ ( sqrt) ไม่เท่ากับ (( sqrt a) ^ 2 )! ตัวอย่าง: 1) ( sqrt < left (- sqrt2 right) ^ 2> = | - sqrt2 | = sqrt2 ) เพราะ (- sqrt2,

( phantom <00000> ) 2) (( sqrt <2>) ^ 2 = 2 ) ( bullet ) ตั้งแต่ ( sqrt= | a | ) ตามด้วย [ sqrt> = | a ^ n | ] (นิพจน์ (2n ) หมายถึงตัวเลขคู่)
นั่นคือเมื่อแยกรากออกจากจำนวนที่มีขอบเขตระดับนี้จะลดลงครึ่งหนึ่ง
ตัวอย่าง:
1) ( sqrt <4 ^ 6> = | 4 ^ 3 | = 4 ^ 3 = 64 )
2) ( sqrt <(- 25) ^ 2> = | -25 | = 25 ) (โปรดทราบว่าหากคุณไม่ใส่โมดูลปรากฎว่ารูทของจำนวนนั้นคือ (- 25 ) แต่เราจำได้ , что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) (sqrt>=|x^8|=x^8) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
(ullet) Для квадратных корней верно: если (sqrt a , то (a , если (sqrt a=sqrt b) , то (a=b) .
Пример:
1) сравним (sqrt<50>) и (6sqrt2) . Для начала преобразуем второе выражение в (sqrt<36>cdot sqrt2=sqrt<36cdot 2>=sqrt<72>) . Таким образом, так как (50 , то и (sqrt <50>. Следовательно, (sqrt <50>.
2) Между какими целыми числами находится (sqrt<50>) ?
Так как (sqrt<49>=7) , (sqrt<64>=8) , а (49 , то (7 , то есть число (sqrt<50>) находится между числами (7) и (8) .
3) Сравним (sqrt 2-1) и (0,5) . Предположим, что (sqrt2-1>0,5) : [egin &sqrt 2-1>0,5 ig| +1quad ext<(прибавим единицу к обеим частям)>[1ex] &sqrt2>0,5+1 ig| ^2 quad ext<(возведем обе части в квадрат)>[1ex] &2>1,5^2 &2>2,25 end] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и (sqrt 2-1 .
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
การยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ / อสมการทำได้เพียงครั้งเดียวเท่านั้นเมื่อทั้งสองข้างนั้นไม่เป็นลบ ตัวอย่างเช่นในความไม่เท่าเทียมกันจากตัวอย่างก่อนหน้านี้คุณสามารถบีบทั้งสองด้านเข้าไปในช่องสี่เหลี่ยมในความไม่เท่าเทียม (- 3 คุณไม่สามารถ (ดูด้วยตัวคุณเอง)! ( bullet ) จำไว้ว่า [ เริ่มต้น & sqrt 2 ประมาณ 1,4 [1ex] & sqrt 3 ประมาณ 1,7 end] การรู้ค่าประมาณของตัวเลขเหล่านี้จะช่วยคุณได้เมื่อเปรียบเทียบตัวเลข! ( bullet ) เพื่อที่จะแยกราก (ถ้ามันถูกดึงออกมา) จากจำนวนมากที่ไม่ได้อยู่ในตารางของสแควร์, อันดับแรกคุณต้องพิจารณาระหว่างที่ "หลายร้อย" มัน - ระหว่างที่ "สิบ", แล้วกำหนดตัวเลขสุดท้ายของหมายเลขนี้ เราแสดงวิธีการทำงานโดยใช้ตัวอย่าง
ใช้ ( sqrt <28224> ) เรารู้ว่า (100 ^ 2 = 10 , 000 ), (200 ^ 2 = 40 , 000 ) ฯลฯ โปรดทราบว่า (28224 ) อยู่ระหว่าง (10 ​​, 000 ) และ (40 , 000 ) ดังนั้น ( sqrt <28224> ) อยู่ระหว่าง (100 ) ถึง (200 )
ตอนนี้เรากำหนดว่า“ สิบ” จำนวนของเราคืออะไร (นั่นคือตัวอย่างระหว่าง (120 ) และ (130 )) นอกจากนี้เรายังรู้จากตารางกำลังสองที่ (11 ^ 2 = 121 ), (12 ^ 2 = 144 ), เป็นต้นจากนั้น (110 ^ 2 = 12100 ), (120 ^ 2 = 14400 ), (130 ^ 2 = 16900 ), (140 ^ 2 = 19600 ), (150 ^ 2 = 22500 ), (160 ^ 2 = 25600 ), (170 ^ 2 = 28900 ) ดังนั้นเราจะเห็นว่า (28224 ) อยู่ระหว่าง (160 ^ 2 ) และ (170 ^ 2 ) ดังนั้นหมายเลข ( sqrt <28224> ) อยู่ระหว่าง (160 ) ถึง (170 )
ลองหาตัวเลขสุดท้าย จำได้ไหมว่าเป็นตัวเลขหลักเดียวเมื่อยกกำลังสองให้ตอนท้าย (4 )? นี่คือ (2 ^ 2 ) และ (8 ^ 2 ) ดังนั้น ( sqrt <28224> ) จะลงท้ายด้วย 2 หรือ 8 ตรวจสอบสิ่งนี้ ค้นหา (162 ^ 2 ) และ (168 ^ 2 ):
(162 ^ 2 = 162 cdot 162 = 26224 )
(168 ^ 2 = 168 cdot 168 = 28224 )
ดังนั้น ( sqrt <28224> = 168 ) Voila!

เพื่อที่จะแก้ปัญหาการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อย่างแรกสิ่งแรกคือจำเป็นต้องศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎีที่แนะนำทฤษฎีบทสูตรอัลกอริธึมและอื่น ๆ มากมายในแวบแรกมันอาจดูเหมือนว่ามันค่อนข้างง่าย อย่างไรก็ตามการค้นหาแหล่งที่มาซึ่งทฤษฎีสำหรับ USE ในวิชาคณิตศาสตร์นั้นนำเสนอได้ง่ายและชัดเจนสำหรับนักเรียนที่มีระดับการฝึกอบรมใด ๆ เป็นงานที่ค่อนข้างซับซ้อน ไม่สามารถเก็บหนังสือของโรงเรียนไว้ในมือได้ตลอดเวลา และเพื่อค้นหาสูตรพื้นฐานสำหรับการสอบในวิชาคณิตศาสตร์อาจเป็นเรื่องยากแม้กระทั่งบนอินเทอร์เน็ต

เหตุใดจึงสำคัญที่ต้องศึกษาทฤษฎีคณิตศาสตร์ไม่เพียง แต่สำหรับผู้ที่สอบผ่าน?

  1. เพราะมันทำให้จิตใจเบิกกว้าง การศึกษาเนื้อหาเชิงทฤษฎีในคณิตศาสตร์นั้นมีประโยชน์สำหรับผู้ที่ต้องการคำตอบสำหรับคำถามที่เกี่ยวข้องกับความรู้ของโลก ทุกอย่างในธรรมชาติเป็นระเบียบและมีตรรกะที่ชัดเจน นี่คือสิ่งที่สะท้อนอยู่ในวิทยาศาสตร์ซึ่งเป็นไปได้ที่จะเข้าใจโลก
  2. เพราะมันพัฒนาความฉลาด การศึกษาเอกสารอ้างอิงสำหรับการสอบในวิชาคณิตศาสตร์เช่นเดียวกับการแก้ปัญหาต่าง ๆ คนเรียนรู้ที่จะคิดอย่างมีเหตุผลและมีเหตุผลอย่างถูกต้องและชัดเจนกำหนดความคิด เขาพัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์พูดคุยสรุปข้อสรุป

เราขอเชิญคุณประเมินข้อได้เปรียบทั้งหมดของวิธีการของเราในการจัดระบบและนำเสนอสื่อการฝึกอบรม

ดูวิดีโอ: รากทสอง (มีนาคม 2020).

Pin
Send
Share
Send
Send